Записываются ли логи FTP на выделенном сервере?

Да, вся деятельность юзеров по протоколу FTP на арендованном сервере записывается и хранится в виде лог-файла. Лог - это фактически текстовая запись всего, что происходит во время сессии. Чтобы получить доступ к этому логу, зайдите на свой выделенный сервер по SSH (необходимы права root) и откройте в текстовом редакторе файл

/var/log/messages

Поскольку лог-файл может быть очень длинным, то для удобства отсортируйте последние 100 (цифра может меняться) записей:

tail -n100 /var/log/messages

Эта информация поможет Вам узнать, с какой учетной записи какие действия производились, куда пользователь заходил и какие вводил команды.